Question

已知f（x）=log₂x，當點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動時，點N（x，ny）在函數y=g_n（x）的圖象上運動（n∈N）．
（1）求y=g_n（x）的解析式；
（2）求集合A={a|關于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有實根，a∈R}；
（3）設，函數F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域為，
求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于f（x）=log₂x，點N（x，ny）又在函數y=g_n（x）的圖象上運動（n∈N）．所以，直接代入即可；
（2）關于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有實根，即有實根，實質是求函數y=的值域；
（3）函數F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域為，故此，本問題只需判斷出函數F（x）在[a，b]上的單調性即可求解a，b．
解答：解：（1）由條件知，又f（x）=log₂x∴解析式g_n（x）=nlog₂x．
（2）∵方程g₁（x+2）=g₂（x+a），即，
∴求集合A就是求方程有實根時a的范圍．
而，
∴時原方程總有實根，

∴集合．

（3）∵，
又在[a，b]上遞減，
∴，即①，
由與y=log₂x的圖象只有唯一交點知：方程只有唯一解，
經檢驗是方程組①的唯一解，故得證．
點評：待定系數法是求函數解析式的一種常見方法，例如問題（1）；轉化思想是數學中的重要思想之一，問題的轉化往往可以收到意想不到的效果，如問題（2）；問題（3）再次展現了求解函數最值時導數的工具性作用．