Question

已知定義在R的函數（a，b為實常數）．
（Ⅰ）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（Ⅱ）設f（x）是奇函數，求a與b的值；
（Ⅲ）當f（x）是奇函數時，證明對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明不是奇函數，可用特殊值法；
（II）用奇函數定義f（-x）=-f（x），再用待定系數法求解；
（III）即證明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．
解答：解：（Ⅰ），，，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數；（2分）
（Ⅱ）f（x）是奇函數時，f（-x）=-f（x），
即對任意x∈R恒成立．（4分）
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0對任意x∈R恒成立．（6分）
∴，∴（舍）或，∴．（8分）
另解：∵f（x）是定義在R的奇函數，∴，，
∴，驗證滿足，∴．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
∴，從而；（12分）
而對任何實數c成立；
所以對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．（14分）
點評：本題主要考查奇函數的應用及恒成立問題．