Question

設(shè)f（x）=

ax

x+a

（a≠0），令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又b_n=a_n•a_n+1，n∈N^*
（1）判斷數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列并證明；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：an+1=

a•an

an+a

．將其變形可得

1

an+1

-

1

an

=

1

a

，由等差數(shù)列的定義進而得到答案．
（2）由（1）可得

1

an

=1+(n-1)

1

a

，an=

a

n+a-1

．
（3）設(shè)S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和．由（1）可得b_n=a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），利用分組求和的方法求出答案即可．

解答：解：（1）由a_n+1=f（a_n）可得：an+1=

a•an

an+a

．
將其變形可得a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），即

1

an+1

-

1

an

=

1

a

，
所以數(shù)列{

1

an

}是首項為1，公差為

1

a

的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得

1

an

=1+(n-1)

1

a

，
所以

1

an

=

n-1+a

a

，即an=

a

n+a-1

．
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

a

n+a-1

．
（3）設(shè)S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和．
由（1）可得b_n=a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），
所以Sn=a(a1-an+1)=

na

n+a

．
所以數(shù)列{b_n}的前n項和為

na

n+a

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)列掌握等差數(shù)列的通項與前n項和的公式，以及其他數(shù)列求和的方法如分組求和、錯位相減、倒序相加、裂項相消等方法．