Question

函數(shù)f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-3=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

1

2n

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：利用f（1）=2+log_a1=2，可得函數(shù)f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），
由于點(diǎn)A在直線mx+ny-3=0上，可得m+2n=3．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答：解：∵f（1）=2+log_a1=2，∴函數(shù)f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），
∵點(diǎn)A在直線mx+ny-3=0上，∴m+2n=3．
∵mn＞0，∴m，n＞0．
∴

1

m

+

1

2n

=

1

3

(m+2n)(

1

m

+

1

2n

)=

1

3

(2+

2n

m

+

m

2n

)≥

1

3

(2+2

2n m • m 2n

)=

4

3

，當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=

3

2

時(shí)取等號(hào)．
∴

1

m

+

1

2n

的最小值是：

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．