Question

設M為平面內一些向量組成的集合，若對任意正實數t和向量a∈M，都有ta∈M，則稱M為“點射域”．現有下列平面向量的集合：
①{（x，y）|x²≥y}；
②{（x，y）|

x+y≥0 x+y≤0

}；
③{（x，y）|x²+y²-2x≥0}；
④{（x，y）|3x²+2y²-6＜0}．
上述為“點射域”的集合有

②

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：根據“點射域”的定義，分別推導t

a

∈M是否成立．

解答：解：設

a

=(x，y)，則t

a

=(tx．ty)．
①若

a

∈{（x，y）|x²≥y}；若t

a

∈{（x，y）|x²≥y}，即（tx）²≥ty，
 因為t＞0，整理得tx²≥y．顯然當t≠1時，tx²≥y與x²≥y不是同解不等式，所以①不是“點射域”．
②若

a

∈{（x，y）|

x+y≥0 x+y≤0

}，則有

x+y≥0 x+y≤0

，若t

a

∈{（x，y）|

x+y≥0 x+y≤0

}，則有

tx-ty≥0 tx+ty≥0

，
因為t＞0，所以不等式等價為

x+y≥0 x+y≤0

，由題意可知②是“點射域”．
③若

a

∈{（x，y）|x²+y²-2x≥0}，則x²+y²-2x≥0，若t

a

∈{（x，y）|x²+y²-2x≥0}，則有（tx）²+（ty）²-2tx≥0，
因為t＞0，所以不等式等價tx²+ty²-2x≥0，顯然當t≠1時，兩不等式不是同解不等式，所以③不是“點射域”．
④若

a

∈{（x，y）|3x²+2y²-6＜0}，則有3x²+2y²-6＜0．若t

a

∈{（x，y）|3x²+2y²-6＜0}，
則3（tx）²+2（ty）²-6＜0，顯然當t≠1時，兩不等式不是同解不等式，所以④不是“點射域”．
故答案為：②．

點評：本題主要考查了新定義的應用，正確理解新定義的信息，并按照定義進行推導是解決這類問題的關鍵，綜合性較強，難度較大．