Question

若函數f（x）=sin（x+α）-2cos（x-α）是奇函數，則sinα•cosα=

2

5

．

Answer 1

分析：由函數f（x）為奇函數可得f（0）=0，由此可得sinα-2cosα=0，再根據同角三角函數間的平方關系再得一方程，聯立方程組可求得sinα，cosα，進而可得答案．

解答：解：因為函數f（x）為奇函數，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
所以sinα-2cosα=0①，又sin²α+cos²α=1②，
聯立①②解得，

cosα= 5 5 sinα= 2 5 5

或

cosα=- 5 5 sinα=- 2 5 5

，
所以sinα•cosα=

5

5

•

2 5

5

=

2

5

或sinα•cosα=（-

5

5

）•（-

2 5

5

）=

2

5

．
綜上，sinα•cosα=

2

5

．
故答案為：

2

5

．

點評：本題考查函數的奇偶性、同角三角函數間的關系，考查學生的運算能力，考查方程思想．