Question

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=

（1）求證：AO平面BCD，（2）求異面直線AB與CD所成角的大小，（3）求兩面角O—AC—D的大小。          

Answer 1

(Ⅰ)見解析    (Ⅱ) ∠OEF=arccos。

 （Ⅲ）arctan.

解析:

：（1）證明：AB=AD,BO=OD AOBD,連接OC，

CB=CD,BO=OD, COBD,CO=,AO=1,又CA=2,

即AOOC,, AO平面BCD.

(2)取BC的中點E，AC的中點F，∵O為BD的中點，∴EF∥AB，EO∥CD∴∠OEF或其補角是AB與CD所成的角，∴連接OF，∵OF是RT△AOC斜邊AC上的中線，∴OF=AC=1，∵EO=CD=1，EF=AB=,在△OEF中，由余弦定理得cos∠OEF=∴∠OEF=arccos。

（3）∵DO⊥OC,DO⊥AO，∴DO⊥平面AOC，過O作OG⊥AC于G連接DG

∴OG是DG在平面AOC上的射影，由三垂線定理得DG⊥AC，

∴∠OGD是二面角O—AC—D的平面角。

∵OG·AC=AO·OC，∴OG=，在RT△DOG中，tan∠DOG=,

∴∠OGD=arctan，∴二面角O—AC—D為arctan.