Question

已知展開式

sinx

x

=1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…對x∈R且x≠0恒成立，方程

sinx

x

=0有無究多個根：±π，±2π，…±nπ，…，則1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…=(1-

x2

π2

)(1-

x2

22π2

)…(1-

x2

n2π2

)…，比較兩邊x²的系數可以推得1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

．設代數方程1-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根：±x₁，±x₂，…±x_n，類比上述方法可得a₁=

（

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

）

．（用x₁，x₂，…，x_n表示）

Answer 1

分析：由已知中式

sinx

x

=1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…對x∈R且x≠0恒成立，方程

sinx

x

=0有無究多個根：±π，±2π，…±nπ，…，則，1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…=(1-

x2

π2

)(1-

x2

22π2

)…(1-

x2

n2π2

)…，比較兩邊x²的系數可以推得1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

．類比推理可由代數方程1-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根：±x₁，±x₂，…±x_n，轉化 為1-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=(1-

1

x 2 1

)(1-

1

x 2 2

)…(1-

1

x 2 n

)，比較兩邊x²的系數即可得到答案．

解答：解：由1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…=(1-

x2

π2

)(1-

x2

22π2

)…(1-

x2

n2π2

)中，
比較兩邊x²的系數可以推得：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

．
類比揄代數方程1-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根：±x₁，±x₂，…±x_n，
即1-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=(1-

1

x 2 1

)(1-

1

x 2 2

)…(1-

1

x 2 n

)中，
比較兩邊x²的系數可以推得：a₁=（

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

）
故答案為：（

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

）

點評：本題考查的知識點是類比推理，其中由已知根據方程根的形式，將一個累加式變成一個累乘式，用到一次類比推理；現時觀察兩邊x²的系數得到結論，又用到一次類比，故難較大．