Question

在數列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）設b_n=a_n-2n，證明數列{b_n}是等比數列
（2）記數列{a_n}的前n項和為S_n，若對任意正整數n，S_n-（n²+241n）≥10m恒成立，求實數m的最大整數值．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由題意a_n+1=3a_n-4n+2，構造新的數列b_n=a_n-2n，利用等比數列的定義即可以判斷；
（2）因為數列{a_n}的前n項和為S_n且由（1）知道a_n=2n+3ⁿ 利用分組求和法求和S_n，S_n-（n²+241n）=

3

2

(3n-1)-240n=

3

2

（3ⁿ-160n）-

3

2

，所以，當n∈{1，2，3，4，5，6}時，f（n）≥f（6）=-231，當n∈N^*且n≥7時，f（n）≥f（7）=1067，即可求實數m的最大整數值．

解答： （1）證明：由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又b₁=a₁-2n=5-2×2=1≠0，b_n=a_n-2n≠0，
所以，數列{b_n}是首項為3，公比為3的等比數列，
（2）解：a_n-2n=3ⁿ⇒a_n=2n+3ⁿ，S_n=

3

2

(3n-1)+n（n+1），
S_n-（n²+241n）=

3

2

(3n-1)-240n=

3

2

（3ⁿ-160n）-

3

2

所以，當n∈{1，2，3，4，5，6}時，f（n）≥f（6）=-231，當n∈N^*且n≥7時，f（n）≥f（7）=1067
因為對任意正整數n，S_n-（n²+241n）≥10m恒成立，
所以，-231≥10m，
所以實數m的最大整數值是-24．

點評：此題考查了已知數列的前n項的和，求出通項，還考查了分組求和法求和，屬于中檔題．