Question

直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩不同點：命題s：y₁y₂=-p²；命題t：直線l過拋物線的焦點，則s是t的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、既不充分也不必要條件
• D、充要條件

Answer 1

分析：根據(jù)直線過焦點，寫出直線的方程，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)果，同理可以得到直線過拋物線的焦點．

解答：解：經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩不同點
焦點坐標（

p

2

，0）
設(shè)直線為x-

p

2

=ky
y=k（x-

p

2

）
分別代入A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得到兩個分別關(guān)于x，y的一元二次方程，
用韋達定理得y ₁y ₂=-p²
故s是t的充分條件，
同理可以得到s是t的必要條件，
故s是t的充要條件，
故選D．

點評：本題考查充要條件問題，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線之間的關(guān)系，利用方程聯(lián)立得到方程，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論．