Question

已知f（x）=

x3-x-3

5

，g（x）=

x3+x-3

5

．
（1）求證：f（x）是奇函數，并求f（x）的單調區間；
（2）分別計算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函數f（x）和g（x）對所有不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性的定義證明，利用單調性的定義確定函數的單調區間．
（2）分別求出f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，然后根據規律得到結論．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域是{x|x≠0}，…（1分）
∵f（-x）=

(-x)3-(-x)-3

5

=-

x3-x-3

5

=-f(x)，
∴f（x）是奇函數．…（4分）
設0＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1

5

(

x

3 1

-

x

-3 1

)-

1

5

(

x

3 2

-

x

-3 2

)=

1

5

(

x

3 1

-

x

3 2

)(1+

1

x 3 1 x 3 2

)，…（6分）
∵y=x^3r上是增函數，故

x

3 1

＜

x

3 2

，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．…（8分）
又∵f（x）是奇函數，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函數．
∴函數f（x）的增區間是（-∞，0）和（0，+∞）．…（10分）
（2）f(4)-5f(2)g(2)=

43-4-3

5

-5×

23-2-3

5

?

23+2-3

5

=

43-4-3

5

-

43-4-3

5

=0，．…（12分）
同理f（9）-5f（3）g（3）=0．猜想：f（x²）-5f（x）g（x）=0 …（14分）
證明：∵f(x2)-5f(x)g(x)=

x6-x-6

5

-5×

x3-x-3

5

?

x3+x-3

5

=

x6-x-6

5

-

x6-x-6

5

=0．
∴等式成立．…（16分）

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，綜合性較強．