Question

11．給出下列命題：
①對空間任意兩個向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$（$\overrightarrow b$≠$\overrightarrow 0$），則$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$的充要條件是存在實數λ，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$；   
②若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，則$\overrightarrow a=\overrightarrow 0或\overrightarrow b=\overrightarrow 0$；  
③若$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不能構成空間的一個基底，則O，A，B，C四點共面；  
④對于非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，則$（\overrightarrow a•\overrightarrow b）\overrightarrow c=\overrightarrow a（\overrightarrow b•\overrightarrow c）$一定成立．
正確命題的個數為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據共線向量基本定理及向量垂直的充要條件即可判斷出①②都為假命題，而根據基底的定義即可判斷出③命題正確，而根據向量數乘的幾何意義即可判斷命題④為假命題，這樣即可得出正確選項．

解答 解：①根據共線向量基本定理，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$的充要條件是存在實數λ，使得$\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{a}$，其中$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$；
∵本命題沒限制$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$；
∴本命題為假命題；
②若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，則$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$可以都為非零向量；
∴該命題為假命題；
③若$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不能構成空間的一個基底，則$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$共面；
∴O，A，B，C四點共面；
∴該命題正確；
④$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$不共線，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≠0$時，$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）\overrightarrow{c}≠\overrightarrow{a}（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）$；
∴該命題為假命題；
∴正確命題個數為1．
故選A．

點評 考查共線向量基本定理，向量垂直的充要條件，以及空間基底的定義，共面向量的定義，向量數乘的幾何意義．