Question

已知拋物線C：y=2x²，直線y=kx+2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N．
（Ⅰ）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；
（Ⅱ）是否存在實數k使，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），把直線方程代入拋物線方程消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進而求得N和M的橫坐標，表示點M的坐標，設拋物線在點N處的切線l的方程將y=2x²代入進而求得m和k的關系，進而可知l∥AB．
（2）假設存在實數k，使成立，則可知NA⊥NB，又依據M是AB的中點進而可知．根據（1）中的條件，分別表示出|MN|和|AB|代入求得k．
解答：解：（Ⅰ）如圖，設A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韋達定理得，x₁x₂=-1，
∴，∴N點的坐標為．
設拋物線在點N處的切線l的方程為，
將y=2x²代入上式得，
∵直線l與拋物線C相切，
∴，
∴m=k，即l∥AB．

（Ⅱ）假設存在實數k，使，則NA⊥NB，
又∵M是AB的中點，∴．
由（Ⅰ）知=．
∵MN⊥x軸，
∴．
又=．
∴，
解得k=±2．
即存在k=±2，使．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合把握所學知識和基本的運算能力．