Question

如圖：O，A，B是平面上三點，向量

OA

=

a

，

OB

=

b

，在平面AOB上，P是線段AB垂直平分線上的任一點，向量

OP

=

P

，且|

a

|=3，|

b

|=2，則

p

•(

a

-

b

)=

5

2

．

Answer 1

分析：直接按照數量積的定義公式不易求解，

c

與(

a

-

b

)夾角及模均不確定，建立平面直角坐標系，也不易求解，注意到P在線段AB的垂直平分線上，若設AB中點為D，則

OP

=

OD

+

DP

，

OD

=

1

2

(

OA

+

OB

)，且

DP

•

BA

=0，代換轉化為

OA

，

OB

的運算．

解答：解：設AB中點為D，則

OP

=

OD

+

DP

，

OD

=

1

2

(

OA

+

OB

)．
∴

p

•(

a

-

b

)=(

OD

+

DP)

•

BA

=

OD

•

BA

+

DP

•

BA

=

1

2

(

OA

+

OB

)•（

OA

-

OB

）+0
=

1

2

（

a

2-

b

2）=

1

2

(9-4)=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題主要考查向量數量積的運算，考查轉化計算能力，把要求的式子化為 (

OD

+

DP)

•

BA

=

OD

•

BA

+

DP

•

BA

，是解題的關鍵．