Question

△ABC中，AC=3，三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列．
（1）若cosC=

6

3

，求AB；
（2）求

BA

•

BC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由A，B，C成等差數(shù)列易得B=

π

3

，進(jìn)而可得sinC=

3

3

，由正弦定理可得答案；（2）由余弦定理可得3²=a²+c²-ac，結(jié)合基本不等式可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，
又A+B+C=π，∴B=

π

3

，（2分）
又cosC=

6

3

，∴sinC=

3

3

，（4分）
由正弦定理得：

AB

sinC

=

BC

sinA

，
所以AB=

BC

sinA

×sinC=

3

3 2

×

3

3

=2；（7分）
（2）設(shè)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即3²=a²+c²-ac，（9分）
又a²+c²≥2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取到等號(hào)，
所以9=a²+c²-ac≥ac（11分）
所以

BA

•

BC

=

1

2

ac≤

9

2

，
所以

BA

•

BC

的最大值是

9

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題為三角形與基本不等式的結(jié)合，涉及等差數(shù)列的定義和向量的數(shù)量積，屬中檔題．