Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，f（x）與g（x）的圖象關于x=1對稱，且當x∈[2，3]時，g（x）=6（x-2）-2（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調區間及最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f（x）與g（x）的圖象關于x=1對稱可推知f（x）=g（2-x），進而根據g（x）的解析式，求出f（x）[-1，0]上的解析式，再根據函數是偶函數求得f（x）在[-1，0]的解析式．
（2）分別看0＜x≤1和-1≤x≤0時，導函數f’（x）大于還是小于零，進而判斷函數的單調性．進而可得函數的單調區間和最小值．
解答：解：（1）當-1≤x≤0時，2-x∈[2，3]，且y=f（x）上任意的點P（x，y）
關于直線x=1的對稱點P'（2-x，y）都在y=g（x）圖象上．
∴f（x）=g（2-x）=6（2-x-2）-2（2-x-2）³=2x³-6x
又f（x）是偶函數
∴0＜x≤1時，f（x）=6x-2x³，
∴
（2）當-1≤x≤0時，f‘（x）=6x²-6＜0
∴f（x）在[-1，0]單調減，
當0＜x≤1時，f‘（x）=6-6x²＞0
∴f（x）在（0，1]單調增，
∴單調遞減區間為[-1，0]，單調遞增區間為（0，1]；最小值為f（0）=0．
點評：本題主要考查了函數單調性和奇偶性的綜合應用．可用導函數來判斷函數的單調性，即在某區間導函數f‘（x）大于0時，函數調增；小于0時，函數單調減．