Question

若（2x+3）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，求下列各式的值：
（1）a₀+a₁+a₂+a₃+a₄；
（2）a₁+a₂+a₃+a₄；
（3）（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²．

Answer 1

分析：（1）根據所給的二項式的展開式，要求展開式的各項的系數之和，給自變量賦值等于1即可．
（2）在（1）的基礎上給自變量賦值0，就做出了a₀=3⁴=81，兩個結果相比較得到結果．
（3）在（1）的基礎上．再給x賦值-1，要求的式子用平方差公式分解，把賦值后的結果代入求出最后結果．

解答：解：（1）令x=1，得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=（2+3）⁴=625；          …（4分）
（2）令x=0，得a₀=3⁴=81，…（6分）
由（1）a₁+a₂+a₃+a₄=625-81=544；                     …（9分）
（3）令x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=（-2+3）⁴=1，…（11分）
則（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄）=625×1=625…（14分）

點評：本題考查二項式定理的應用，本題解題的關鍵是理解賦值思想，觀察要求的式子的結構特點，本題是一個中檔題目．