Question

已知函數在上是增函數，上是減函數．

（1）求函數的解析式；

（2）若時，恒成立，求實數m的取值范圍；

（3）是否存在實數b，使得方程在區間上恰有兩個相異實數根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．

 

Answer 1

【答案】

⑴；⑵；⑶

【解析】

試題分析：⑴求導數，求駐點，根據駐點函數值為0，得到的方程，進一步得到函數解析式.

⑵通過求導數、求駐點及駐點的唯一性，得到函數的最值，使

⑶構造函數，即，．

利用導數法，研究函數的單調區間，得增區間，減區間．

從而要使方程有兩個相異實根，須有，得解.

試題解析：⑴

依題意得，所以，從而  2分

⑵

令，得或（舍去），所以      6分

⑶設，

即，．                           7分

又，令，得；令，得．

所以函數的增區間，減區間．

要使方程有兩個相異實根，則有

，解得

考點：應用導數研究函數的單調性、極值，函數與方程.