Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，PA是過點A的直線，且∠PAC=∠ABC．
（Ⅰ） 求證：PA是⊙O的切線；
（Ⅱ）如果弦CD交AB于點E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求sin∠BCE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由AB為直徑，知，，由此能證明PA為圓的切線．
（Ⅱ）設(shè)CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，由AE•EB=CE•ED，得m=k，由△AEC∽△DEB，△CEB∽△AED，能求出AB=10，，由此能求出sin∠BCE．
解答：（Ⅰ）證明：∵AB為直徑，
∴，，
∵，
∴PA⊥AB，
∵AB為直徑，∴PA為圓的切線．…（4分）
（Ⅱ）解：CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，
∵AE•EB=CE•ED，∴m=k，
∵△AEC∽△DEB
△CEB∽△AED，
∴AB=10，．
在直角三角形ADB中，，
∵∠BCE=∠BAD，∴．…（10分）
點評：本題考查與圓有關(guān)的比例線線段的應(yīng)用，解題時要認真審題，注意相交弦定理和相似三角形性質(zhì)的合理運用．