Question

定義在R上的單調函數f（x）滿足f（3）=log₂3且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證f（x）為奇函數；
（2）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲證f（x）為奇函數即要證對任意x都有f（-x）=-f（x）成立．在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x）于是又提出新的問題，求f（0）的值．令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，f（x）是奇函數得到證明．
（2）先將不等關系f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0轉化成f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），再結合函數的單調性去掉“f”符號，轉化為整式不等關系，最后利用分離系數法即可求實數k的取值范圍．

解答：解：（1）證明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=-x，代入①式，得f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，則有
0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，所以f（x）是奇函數．
（2）解：f（3）=log₂3＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是單調函數，
所以f（x）在R上是增函數，
又由（1）f（x）是奇函數．
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
k•3^x＜-3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分離系數得：k＜-1+t+

2

t

，
問題等價于k＜-1+t+

2

t

，對任意t＞0恒成立．
∵-1+t+

2

t

≥-1+2

2

，
∴k＜-1+2

2

．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．說明：問題（2）本題解法：是根據函數的性質．f（x）是奇函數且在x∈R上是增函數，把問題轉化成二次函數f（t）=t²-（1+k）t+2對于任意t＞0恒成立．對二次函數f（t）進行研究求解．