Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（1+m）-ma_n，其中m∈R，且m≠-1，0．
（1）若數列{a_n}滿足a_nf （m）=a_n+1，數列{b_n}滿足b₁=

1

2

，b_n=f （b_n-1） （n∈N*，n≥2），求數列{b_n}的通項公式；
（2）若m=1，記c_a=a_n（

1

bn

-1），數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）由條件可得得：a_n=-ma_n+ma_n-1，即數列{an}是等比數列，又a_nf （m）=a_n+1，得f （m）=

m

1+m

．再由b_n=f （b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，可得

1

bn

-

1

bn-1

=1，故{

1

bn

}是首項為2，
公差為1的等差數列，由此求得數列{b_n}的通項公式．
（2）先求出 a_n=(

1

2

)n-1，進而求得 c_n=a_n（

1

bn

-1）=n×(

1

2

)n-1，再進一步求得T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1，利用錯位相減法求出T_n的值．

解答：（1）解：由S_n=（1+m）-ma_n得：S_n-1=（1+m）-ma_n-1 （n≥2），相減得：a_n=-ma_n+ma_n-1，
∴

an

an-1

=

m

1+m

，m≠-1，m為常數，即數列{an}是等比數列，又a_nf （m）=a_n+1，∴f （m）=

m

1+m

．
∵b_n=f （b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，∴

1

bn

-

1

bn-1

=1，即{

1

bn

}是首項為2，公差為1的等差數列，
故

1

bn

=2+（n-1）=n+1，
∴b_n=

1

n+1

．（6分）
（2）解：當m=1時，

an+1

an

=

1

2

，a₁=S₁=2-a₁，得：a₁=1，∴a_n=(

1

2

)n-1，（8分）
∴c_n=a_n（

1

bn

-1）=n×(

1

2

)n-1，
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3+…+（n-1）(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n，
相減得：

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n(

1

2

)n=2-2(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n＜2，
∴T_n＜4．  （12分）

點評：本題主要考查等差數列的通項公式，等比關系的確定，數列與不等式綜合，用錯位相減法進行數列求和，屬于難題．