Question

將圓周四等分，A是其中的一個分點，規定動點P在四個分點上按逆時針方向前進．現擲一個寫有數字1，2，3，4的質地均勻的正四面體，動點P從點A出發，按照正四面體底面上所投擲的點數前進（數字為n就前進n步），動點P在轉一周之前將繼續投擲，轉一周或超過一周則停止投擲．
（1）求點P恰好返回A點的概率；
（2）在動點P轉一周恰好返回A點的所有結果中，用隨機變量X來表示動點P返回A點時投擲正四面體的次數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）分類討論，分別求出能返回A點的概率，即可得到結論；
（2）求出X=1，2，3，4對應的概率，可得分布列與期望．

解答：解：（1）投擲一次正四面體，底面上每個數字的出現都是等可能的，概率為

1

4

，則：
①若投擲一次能返回A點，則底面數字應為4，此時概率為P₁=

1

4

；
②若投擲兩次能返回A點，則底面數字一次為（1，3），（3，1），（2，2）三種結果，其概率為P₂=（

1

4

）2×3=

3

16

；
③若投三次，則底面數字一次為（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三種結果，其概率為P₃=（

1

4

）³×3=

3

64

；
④若投四次，則底面數字為（1，1，1，1），其概率為P₄=（

1

4

）⁴=

1

256

；
則能返回A點的概率為：P=P₁+P₂+P₃+P₄=

125

256

；
（2）能返回A點的所有結果共有（1）中所列8種，則：
P（X=1）=

1

8

，P（X=2）=

3

8

，P（X=3）=

3

8

，P（X=4）=

1

8

其分布列為：

X	1	2	3	4
P	1 8	3 8	3 8	1 8

所以，期望E（X）=1×

1

8

+2×

3

8

+3×

3

8

+4×

1

8

=

5

2

（次）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．