Question

【題目】已知橢圓，，為橢圓的兩個焦點，為橢圓上任意一點，且，構成等差數列，過橢圓焦點垂直于長軸的弦長為3.

(1)求橢圓的方程；

(2)若存在以原點為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且，求出該圓的方程.

Answer 1

【答案】(1).(2) 見解析.

【解析】試題分析：（1）由題知得到，進而得到離心率，再根據三個參數的關系得到最終結果；（2）先由圓的切線的性質得到，再由垂直關系得到，聯立直線和橢圓得到二次方程，由韋達定理得到進而證得結果。

解析：

(1)由題知，即，得①

又由，得②，且，綜合解得.

∴橢圓的方程為.

(2)假設以原點為圓心，為半徑的圓滿足條件.

(i)若圓的切線的斜率存在，并設其方程為，則，①

由消去，整理得，設，，有

，又∵，∴，

即，化簡得.②

由①②求得，所求圓的方程為.

(ii)若的斜率不存在，設，則，∵，

∴，有，，代入，得，此時仍有.

綜上，總存在以原點為圓心的圓滿足題設條件.