Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，
（1）求證：AD∥面D₁BC；
（2）證明：AC⊥BD₁；
（3）求三棱錐D₁-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由長方體的幾何特征可得AD∥BC，進而由線面平行的判定定理可得AD∥面D₁BC；
（2）根據正方形的對角線互相垂直及長方體的幾何特征結合線面垂直的定義，可得AC⊥BD，AC⊥BD₁，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDD₁，進而由線面垂直的定義得到AC⊥BD₁；
（3）由已知中長方體的長寬高，結合（2）中DD₁⊥底面ABCD，即DD₁為棱錐的高，代入棱錐體積公式，可求三棱錐D₁-ABC的體積．

解答：證明：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC
又∵AD?D₁BC，BC?D₁BC
∴AD∥面D₁BC；
（2）連接BD交AC于O，
由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC
可得底面ABCD為正方形
故AC⊥BD
又∵DD₁⊥底面ABCD，AC?底面ABCD
∴DD₁⊥AC
又∵BD∩DD₁=D，BD，DD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，
又∵BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁；
（3）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，
∴S_△ABC=

1

2

×1×1=

1

2

由（2）中DD₁⊥底面ABCD，
∴三棱錐D₁-ABC的體積V=

1

3

×S_△ABC×DD₁=

1

3

點評：本題考查的知識點是線面平行的判定定理，線面垂直的判定與性質，棱錐的體積，熟練掌握長方體的幾何特征及空間線面關系的判定定理是解答的關鍵．