Question

（2009•淮安模擬）選修4-4：幾何證明選講
在曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）上求一點，使它到直線C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t為參數）的距離最小，并求出該點坐標和最小距離．

Answer 1

分析：將直線的參數方程化為普通方程，曲線C₁任意點P的坐標為（1+cosθ，sinθ），利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，與分母約分化簡后，根據正弦函數的值域可得正弦函數的最小值，進而得到距離d的最小值，并求出此時θ的度數，即可確定出所求點P的坐標．

解答：解：直線C₂化成普通方程是x+y-2

2

-1=0  …（2分）
設所求的點為P（1+cosθ，sinθ），…（3分）
則C到直線C₂的距離d=

|1+cosθ+sinθ+2 2 -1|

2

…（5分）
=|sin（θ+

π

4

）+2|…（7分）
當θ+

π

4

=

3π

2

時，即θ=

5π

4

時，d取最小值1…（9分）
此時，點P的坐標是（1-

2

2

，-

2

2

）…（10分）

點評：本小題主要考查直線的參數方程的應用、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．