Question

如圖，已知橢圓的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直．直線（2﹣k）x﹣（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．

Answer 1

解：（1）將（2﹣k）x﹣（1+2k）y+（1+2k）=0整理得（﹣x﹣2y+2）k+2x﹣y+1=0
解方程組
得直線所經過的定點（0，1），
所以b=1．
由離心率得a=2．
所以橢圓的標準方程為．
（2）設P（x₀，y₀），則．
∵HP=PQ，∴Q（x₀，2y₀）．∴
∴Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上．
即Q點在以AB為直徑的圓O上．
又A（﹣2，0），
∴直線AQ的方程為．
令x=2，得．
又B（2，0），N為MB的中點，
∴．
∴，．
∴
=x₀（x₀﹣2）+x₀（2﹣x₀）=0．
∴．
∴直線QN與圓O相切．