Question

類比命題(1),給出命題(2)的結論的猜想.

       (1)如果△ABC的三條邊BC、CA、AB上的高分別為h_a、h_b和h_c,△ABC內任意一點P到三條邊BC、CA、AB的距離分別為p_a、p_b、p_c,那么=1.

       (2)從四面體的四個頂點A、B、C、D分別向所對的面作垂線,垂線長分別為h_a、h_b、h_c和h_d.P為四面體內任意一點,從點P向A、B、C、D四頂點所對的面作垂線,垂線長分別為p_a、p_b、p_c和p_d,那么諸h_i與諸p_i滿足什么關系式(i=a, b, c, d)?

      

Answer 1

解析:類比推理猜想=1.?

       更有趣的是它們的證明也可類比移植,由平面到空間如法炮制.?

       先看命題(1)的證明(面積證法).?

       ∵

       =.?

       同理,.?

       ∵?

       ==1,?

       ∴=1.?

       命題(2)的證明(體積證法),?

       ∵?

       =,?

       同理,.?

       ∵

       =?

       ==1,?

       ∴=1.