Question

已知f（x）=x³-2ax²-3x（a∈R）．
（I）當|a|≤時，求證f（x）在（-1，1）內是減函數；
（Ⅱ）若y=f（x）在（-1，1）內有且只有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=x³-2ax²-3x
∴f^′（x）=x²-4ax-3
∵|a|≤，
∴f^′（-1）≤0，f^′（1）≤0
∵f^′（x）的圖象開口向上，
∴在（-1，1）內．f（x）是一個減函數．
（II）設極值點x₀，
∴f（x）在（-1，x₀）上是增函數，在（x₀，1）上是減函數，
∴a時，f（x）在（-1，1）上有一個極值點，且是極大值點，
a時，f（x）在（-1，1）上有一個極小值點，
-，f（x）在（-1，1）上沒有極值點，
總上可知的取值范圍是（-
分析：（I）首先對于函數求導，得到導函數是一個二次函數，根據二次函數的性質對于導函數的符號進行驗證，得到結果．
（II）設出極值點，根據函數在所給的區間上只有一個極值點，對于函數的導函數的符號進行討論，得到結果．
點評：本題考查函數的極值和單調性的應用，解題的關鍵是對于字母系數a的討論，注意討論的過程中做到不重不漏．