Question

已知a²＋b²＝1，x²＋y²＝1，分別用分析法，綜合法，證明：ax＋by≤1．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(方法一：分析法) 　　要證明ax＋by≤1， 　　只要證明2ax＋2by≤2， 　　只要證明2ax＋2by≤(a2＋b2)＋(x2＋y2) 　　而a2＋x≥2ax，b2＋y2≥2by． 　　從而原不等式成立． 　　(方法二：綜合法) 　　因為a2＋x2≥2ax，b2＋y2≥2by． 　　所以(a2＋x2)＋(b2＋y2)≥2ax＋2by． 　　從而ax＋by≤1． 　　方法三：三角代換法： 　　因為a2＋b2＝1，x2＋y2＝1 　　所以可設a＝cosα，b＝sinα，x＝cosβ，y＝sinβ 　　從而ax＋by＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)≤1 　　所以ax＋by≤1．