Question

已知函數f（x）=x²-mlnx+（m-1）x，其中m∈R．
（Ⅰ）當m=2時，求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）當m≤0時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）求證：當m=-1時，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有＞-1．

Answer 1

【答案】分析：（I）將m=2代入，我們易求出其導函數f'（x）的解析式，進而易判斷基單調性，結合其定義域和單調性，易得到函數f（x）的最小值．
（II）由f'（x）=，結合m≤0，我們可以分-1＜m≤0與m≤-1兩種情況進行分類討論，利用導數法，討論函數f（x）的單調性；
（III）當m=-1時，函數f（x）=+lnx-2x．要證明＞-1，即證明f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂，即證f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，故我們可以構造輔助函數g（x）=f（x）+x，通過討論輔助函數g（x）=f（x）+x的單調性證明結論．
解答：解：（Ⅰ）顯然函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
當m=2時，f'（x）=．
∴當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1時取得最小值，其最小值為f（1）=．（4分）

（Ⅱ）∵f'（x）=x-+（m-1）==，
∴（1）當-1＜m≤0時，若x∈（0，-m）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數；
當x∈（-m，1）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數．
（2）當m≤-1時，x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（1，-m）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（-m，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數．（9分）

（Ⅲ）當m=-1時，函數f（x）=+lnx-2x．
構造輔助函數g（x）=f（x）+x，并求導得
g'（x）=x+-1==．
∴g'（x）＞0，g（x）為增函數．
∴對任意0＜x₁＜x₂，都有g（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
又∵x₁-x₂＜0，
∴＞-1．（14分）
點評：本題考查的知識點是利用導數求函數的最值，利用導數研究函數的單調性，利用導數證明函數的單調性是我們證明函數單調性最常的辦法，而利用單調性解不等式又是解不等式重要思路．