Question

將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如數表：記表中的第一列數a₁，a₂，a₄，
a₇，…構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1．S_n為數列{b_n}的前n項和，且滿足．
（1）證明：；
（2）求數列{b_n}的通項公式；
（3）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數．當時，求上表中第k（k≥3）行所有項的和．

Answer 1

解：（1）證明：由已知，，所以，當n≥2時，，
又S_n=b₁+b₂+…+b_n，
所以，
（2）因為S₁=b₁=a₁=1．所以數列是首項為1，公差為的等差數列．
由上可知，．
所以當n≥2時，．
因此
（3）設上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q＞0．
因為，
所以表中第1行至第13行共含有數列{a_n}的前91項，故a₉₄在表中第14行第三列，
因此．又，所以q=3．
記表中第k（k≥3）行所有項的和為S，
則．
分析：（1）由題意所給的已知等式特點應考慮應用已知數列的前n項和求其通項這一公式來尋求出路，得到S_n與S、S_n-1之間的遞推關系，即可證明所證結果；
（2）利用（1）得到的關系式，先求出S_n的通項公式，即可利用b_n=S_n-S_n-1，求{b_n}的通項公式；
（3）由題意第一列數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1，又已知{b_n}的通項公式和a₈₁的值，應該現有規律判斷這一向位于圖示中的具體位置，有從第三行起，第一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數進而求解．
點評：本題重點考查了數列中的已知前n項的和，求解通項公式，還考查了等差數的定義，考查了由題意及圖形準確找規律，還考查了等比數列的通向公式及有數列通向求其所有項和，同時還考查了方程的思想．