Question

12、已知函數y=（e^x-a）²+（e^-x-a）²（a∈R，且a≠0），求y的最小值．

Answer 1

分析：將函數y=（e^x-a）²+（e^-x-a）²展開，令t=e^x+e^-x，找到關于t的關系式y=t²-2at+2a²-2根據二次函數的增減性求值．

解答：解：y=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²-2．令t=e^x+e^-x，則f（t）=t²-2at+2a²-2．
∵t=e^x+e^-x≥2，
∴f（t）=（t-a）²+a²-2的定義域為[2，+∞）．
∵拋物線的對稱軸方程是t=a，
∴當a≥2時，y_min=f（a）=a²-2；當a＜2且a≠0時，y_min=f（2）=2（a-1）²．

點評：本題主要考查用整體代換法求最值的問題．指數函數的值域和最值問題經常和二次函數聯系起來進行解題．