Question

已知函數(shù)，．（e=2.718…)

（I）求函數(shù)的極大值；（II ）求證：；

   （Ⅲ）對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得 和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)函數(shù)，試探究函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在，請加以證明，并求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) -2  (Ⅱ)  見解析 （Ⅲ）見解析

解析:

（Ⅰ）∵，∴．……1分

       令，解得：，令，解得：，…………………2分

∴函數(shù)在上遞增，上遞減，∴．……4分                  

   （Ⅱ）證明：由（1）知是函數(shù)極大值點,也是最大值點， ∴，

即，（當且僅當時等號成立）…………5分

   令得：， 取，

則，………………………………………………7分

∴，

    迭加得…………8分

（Ⅲ）設(shè)，

則．

∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增．

∴是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，∴

∴函數(shù)與的圖象在處有公共點．………………9分

設(shè)與存在 “分界線”且方程為：．

令函數(shù)，

ⅰ）由在恒成立，

即在上恒成立，

∴成立，

∴，故．……………………………………11分

ⅱ）下面再證明：恒成立．

 設(shè)，則．

 ∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，．函數(shù)單調(diào)遞減．

 ∴時取得最大值0，則成立．…………13分

綜上ⅰ）和ⅱ）知：且，

故函數(shù)與存在分界線為，此時．…………14分

另解：令則，探究得兩函數(shù)圖象的交點為，

      設(shè)存在“分界線”且為：，令函數(shù)，

     再證：恒成立；恒成立。。。。。證法同上ⅰ）和ⅱ）．