Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）設0＜a＜b，證明0＜g（a）+g（b）-2g（）＜（b-a）ln2．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數的定義域，然后對函數進行求導運算，令導函數等于0求出x的值，再判斷函數的單調性，進而可求出最大值．
（2）先將a，b代入函數g（x）得到g（a）+g（b）-2g（）的表達式后進行整理，根據（1）可得到lnx＜x，將、放縮變形為、代入即可得到左邊不等式成立，再用根據y=lnx的單調性進行放縮＜．然后整理即可證明不等式右邊成立．
解答：（Ⅰ）解：函數f（x）的定義域為（-1，+∞）．
．令f′（x）=0，解得x=0．
當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0時，f′（x）＜0．又f（0）=0，
故當且僅當x=0時，f（x）取得最大值，最大值為0．
（Ⅱ）證明：
=．
由（Ⅰ）結論知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），
由題設，
因此，
，
所以．
又，
＜．=（b-a）ln＜（b-a）ln2
綜上．
點評：本題主要考查導數的基本性質和應用、對數函數性質和平均值不等式等知識以及綜合推理論證的能力．