Question

如果函數y=a^2x+2a^x-1(a＞0且a≠1)在［-1，1］上有最大值14，試求a的值.

Answer 1

設t=a^x，則原函數可化為y=(t+1)²-2，對稱軸為t=-1.
(1)若a＞1，∵x∈［-1，1］，
∴-1＜≤t≤a.
∵t=a^x在［-1，1］上遞增，
∴y=(t+1)²-2當t∈［，a］時也遞增.
∴原函數在［-1，1］上遞增.
故當x=1時，y_max=a²+2a-1.
由a²+2a-1=14，解得a=3或a=-5(舍去，因a＞1).
(2)若1＞a＞0，可得當x=-1時，y_max=a^-2+2a^-1-1=14，
解得a=或a=- (舍去).
綜上，a=或3.

將原函數看成是二次函數和指數函數合成的復合函數，利用相應函數的性質及復合函數的單調性解題.可采用換元法.