Question

（2012•武清區一模）已知離心率

2

2

為的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與過點A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直線有且只有一個公共點M．
（1）求橢圓C的方程及點M的坐標；
（2）是否存在過點M的直線l，依次交橢圓C、x軸、y軸于點N（異于點M）、P、Q，且滿足

MN

=

1

3

QP

=

1

2

MP

，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的離心率為

2

2

，可得a²=2b²，求出過點A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直線方程，與橢圓方程聯立，利用過點A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直線與橢圓有且只有一個公共點M，即可求得橢圓C的方程及M的坐標；
（2）假設存在直線l，滿足題意，根據直線l依次交橢圓C、x軸、y軸于點N（異于點M）、P、Q，且滿足

MN

=

1

3

QP

=

1

2

MP

，可得M，N是線段PQ的三等份點，求出N的坐標代入橢圓方程，即可得到結論．

解答：解：（1）∵橢圓的離心率為

2

2

∴

c

a

=

2

2

∴

a2-b2

a2

=

1

2

∴a²=2b²
∴橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1可化為：x²+2y²=2b²①
過點A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直線方程為

x

5

+

y

5 2 4

=1②
①②聯立，消去x可得：10y2-20

2

y+25-2b2=0③
∵過點A（5，0），B（0，

5 2

4

）的直線與橢圓有且只有一個公共點M
∴△=800-40（25-2b²）=0
∴b2=

5

2

，∴a²=5
∴橢圓C的方程為

x2

5

+

y2

5 2

=1
b2=

5

2

時，方程③的根為y=

2

，代入②可得x=1，∴M（1，

2

）
（2）假設存在直線l，滿足題意．
∵直線l依次交橢圓C、x軸、y軸于點N（異于點M）、P、Q，且滿足

MN

=

1

3

QP

=

1

2

MP

，
∴M，N是線段PQ的三等分點
∵M（1，

2

），∴根據三角形的中位線的性質，可得N（2，

2

2

）
代入橢圓方程

x2

5

+

y2

5 2

=1，顯然成立
∴存在直線l，滿足題意，此時直線的方程為：y-

2

=

2 2 - 2

2-1

(x-1)
即x+

2

y-3=0

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查存在性問題，將直線l依次交橢圓C、x軸、y軸于點N（異于點M）、P、Q，且滿足

MN

=

1

3

QP

=

1

2

MP

，轉化為M，N是線段PQ的三等份點是解題的關鍵．