Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)之積為512，且這三項(xiàng)分別依次減去1、3、9后又成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若Tn=

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）分別設(shè)出遞增等比數(shù)列的前3項(xiàng)，由題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解前兩項(xiàng)，則公比可求，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把a(bǔ)_n代入Tn=

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

，利用錯(cuò)位相減法求T_n．

解答：（1）解：設(shè)遞增的等比數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)分別為a₁，a₂，a₃，
則a₁a₂a₃=512，∴a₂=8．
又這三項(xiàng)分別依次減去1、3、9后又成等差數(shù)列，
則2（a₂-3）=a₁-1+a₃-9，即a₁+a₃=20．
又∵a1a3=a22=64，且a₁＜a₃，∴a₁=4，a₃=16，
∴等比數(shù)列{a_n}的公比q=2．
∴an=a1qn-1=4•2n-1=2n+1；
（2）證明：令bn=

n

an

=

n

2n+1

=n(

1

2

)n+1，
則T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，①

1

2

Tn=(

1

2

)3+2•(

1

2

)4+…+(n-1)•(

1

2

)n+1+n•(

1

2

)n+2，②
①-②得：

1

2

Tn=(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1-n•(

1

2

)n+2，
即Tn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1，
∴Tn=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-(1+

n

2

)•(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．