Question

已知點D（0，-2），過點D作拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的切線l，切點A在第二象限，如圖
（Ⅰ）求切點A的縱坐標；
（Ⅱ）若離心率為的橢圓恰好經過切點A，設切線l交橢圓的另一點為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k₁，k₂，若k₁+2k₂=4k，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設切點A（x，y），且，由切線l的斜率為，得l的方程為，再由點D（0，-2）在l上，能求出點A的縱坐標．
（Ⅱ）由得，切線斜率，設B（x₁，y₁），切線方程為y=kx-2，由，得a²=4b²，所以橢圓方程為，b²=p+4，由，由此能求出橢圓方程．
解答：解：（Ⅰ）設切點A（x，y），且，
由切線l的斜率為，得l的方程為，又點D（0，-2）在l上，
∴，即點A的縱坐標y=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ） 得，切線斜率，
設B（x₁，y₁），切線方程為y=kx-2，由，得a²=4b²，…（7分）
所以橢圓方程為，且過，∴b²=p+4…（9分）
由，∴，…（11分）
=
將，b²=p+4代入得：p=32，所以b²=36，a²=144，
橢圓方程為．…（15分）
點評：本題考查切點的縱坐標和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．