Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，點P（S_n，a_n）在直線（3-m）x+2my-m-3=0上，（m∈N^*，m為常數，m≠3）；
（1）求a_n；
（2）若數列{a_n}的公比q=f（m），數列{b_n}滿足，求證：為等差數列，并求b_n；
（3）設數列{c_n}滿足c_n=b_n•b_n+2，T_n為數列{c_n}的前n項和，且存在實數T滿足T_n≥T，（n∈N*），求T的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設，（3-m）S_n+2ma_n-m-3=0，所以，故（3-m）S_n-1+2ma_n-1-m-3=0，由此能求出a_n．
（2）由，得，由此能得到為等差數列，并能求出b_n．
（3）由，知T_n為數列{c_n}的前n項和，，由此能求出T的最大值．
解答：解：（1）由題設，（3-m）S_n+2ma_n-m-3=0①（1分）
∴（2分）
由①，n≥2時，（3-m）S_n-1+2ma_n-1-m-3=0②（3分）
①-②得，，（4分）
∴．（5分）
（2）由（1）知，
化簡得：（7分）
∴是以1為首項、為公差的等差數列，（8分）
∴∴．（10分）
（3）由（2）知．T_n為數列c_n的前n項和，因為c_n＞0，
所以T_n是遞增的，．（12分）
所以要滿足T_n≥T，（n∈N*），∴（13分）
所以T的最大值是（14分）
點評：本題考查數列的通項公式的求法和等差數列的證明，考查數列前n項和最小值最大是多少．解題時要認真審題，仔細解答，注意數列性質的合理運用．