Question

已知函數f（x）=ax²-2ax+2+b（a≠0）在區間[2，3]上有最大值5，最小值2；
（1）求a，b的值；
（2）若a＜0，g（x）=f（x）-2^mx在[2，4]上無零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于二次函數的對稱軸為x=1，當a＞0時，由函數的單調性可得

f(2)=2 f(3)=5

，由此求得a，b的值．當a＜0時，由函數的單調性可得

f(2)=5 f(3)=2

，由此求得a，b的值．綜上可得結論．
（2）由（1）的結論及a＜0，可得函數g（x）在區間[2，4]上單調遞減，由g（4）＜0，結合題意可得g（2）＜0，即5-2×2^m＜0，由此求得 m的取值范圍．

解答：解：（1）由于二次函數f（x）=ax²-2ax+2+b的對稱軸為x=1，
當a＞0時，函數在區間[2，3]上是增函數，由

f(2)=2 f(3)=5

求得 

a=1 b=0

．
當a＜0時，函數在區間[2，3]上是減函數，由

f(2)=5 f(3)=2

解得

a=-1 b=3

．（8分）
綜上可得，

a=1 b=0

，或

a=-1 b=3

．
（2）由（1）的結論及a＜0，則有

a=-1 b=3

，得f（x）=-x²+2x+5，
故 g（x）=f（x）-2^mx=-x²+（2-2^m）x+5，對稱軸x=

2-2m

2

＜1，
所以在區間[2，4]上單調遞減．（12分）
又g（4）=-16+（2-2^m）×4+5＜0，g（x）=f（x）-2^mx在[2，4]上無零點，
所以有g（2）＜0，即5-2×2^m＜0，2^m＞

5

2

，得m＞log2

5

2

，
故m的取值范圍為（ log2

5

2

，+∞）．（16分）

點評：本題主要考查二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．