Question

周長為

2

+1的直角三角形面積的最大值為

1

4

．

Answer 1

分析：設兩直角邊為a，b，斜邊長為c，依題意，a+b+

a2+b2

=

2

+1，利用基本不等式可求得

ab

≤

2

2

，從而可求得
該直角三角形面積的最大值．

解答：解：設兩直角邊為a，b，斜邊長為c，
則c²=a²+b²，且a+b+

a2+b2

=

2

+1，
∴

2

+1=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=（2+

2

）

ab

，
即

ab

≤

2

2

，當且僅當a=b時取等號．
∴三角形的面積S=

1

2

ab≤

1

2

×

1

2

=

1

4

，
即S_max=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點評：本題考查基本不等式，依題意，得到a+b+

a2+b2

=

2

+1是應用基本不等式基礎，考查創新與運算能力，屬于中檔題．