Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，面EAD⊥面ABCD，且EA=ED，O是線段AD的中點(diǎn)，過E作直線l∥AB，F(xiàn)是直線l上一動點(diǎn)．
（1）求證：OF⊥BC；
（2）若直線l上存在唯一一點(diǎn)F使得直線OF與平面BCF垂直，求二面角B-OF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先證EO⊥面ABCD，進(jìn)而可得BC⊥面EOF，從而可證OF⊥BC；
（2）判斷∠BFC為二面角B-OF-C的平面角，計(jì)算出BF=CF=

3

，利用余弦定理可求二面角B-OF-C的余弦值．

解答：（1）證明：∵EA=ED，O是AD的中點(diǎn)，∴EO⊥DA，
∵面EAD⊥面ABCD，面EAD∩面ABCD=AD，
∴EO⊥面ABCD，∴EO⊥BC
∵EF∥AB，BC⊥AB，∴EF⊥BC
∵EO∩EF=E
∴BC⊥面EOF
∵OF?面EOF，∴OF⊥BC；
（2）解：設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連接OM，F(xiàn)M，設(shè)OM的中點(diǎn)為N，連接FN
∵EF∥AB，OM∥AB，∴EF∥OM，∴E，F(xiàn)，O，M四點(diǎn)共面
∵OF⊥BC，∴OF⊥面FBC等價(jià)于OF⊥FM，
∴直線l上存在唯一一點(diǎn)F使得直線OF與平面BCF垂直，即等價(jià)于以O(shè)M為直徑的圓與直線l相切，F(xiàn)恰為切點(diǎn)，NF⊥EF
∴直線l與直線OM的距離為1，故NF=1
∵OE⊥EF，NF⊥EF，OE，NF共面，∴NF∥OE
∵EO⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD
在直角△FNB和△FNC中，BF=CF=

3

∵OF⊥面FBC，∴OF⊥BF，OF⊥CF
∴∠BFC為二面角B-OF-C的平面角
∴在△BFC中，BF=CF=

3

，BC=2，cos∠BFC=

BF2+CF2-BC2

2BF×CF

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定定理，正確作出面面角．