Question

(1)求證:4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9能被20整除;

(2)已知2ⁿ⁺²·3ⁿ+5n-a能被25整除,求a的最小正數值.

 

 

Answer 1

(1)證明:4×6ⁿ-9=4(5+1)ⁿ-9=4(5ⁿ+·5^n-1+…+·5+1)-9

=4(5ⁿ+·5^n-1+…+·5)-5

=5［4(5^n-1++…+)-1］

是5的倍數,因此4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9是5的倍數.

又∵5ⁿ⁺¹-9=(4+1)ⁿ⁺¹-9=4ⁿ⁺¹+·4ⁿ+·4^n-1+…+·4+1-9

=4·(4ⁿ+·4^n-1+…+-2)

是4的倍數,因此4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9是4的倍數.

∴4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9既是4的倍數,又是5的倍數.由于4與5互質,

∴4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9能被20整除.

(2)解:n≥2時,

4×6ⁿ+5n-a=4(5+1)ⁿ+5n-a

=4(5ⁿ+C¹_n·5^n-1+…+·5+1)+5n-a

=4×5²(5^n-2+·5^n-3+…+)+20n+4+5n-a

=25×4(5^n-2+·5^n-3+…+)+25n+4-a

能被25整除時a=4為最小正數.

當n=1時,原式=24+5-a能被25整除時a的最小正數是4.