Question

已知a＞0，且a≠1，f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

）．
（1）求f（x）；
（2）判斷f（x）的單調性；
（3）求f（x²-3x+2）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）用換元法，令t=log_ax （t∈R），則x=a^t，可得f（t）的關系式，進而可得答案；
（2）令g（x）=a^x-a^-x，分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論g（x）的單調性與

a

a2-1

的符號，由函數單調性的性質，可得答案；
（3）分析可得，f（0）=0，結合函數的單調性，可將f（x²-3x+2）＜0轉化為x²-3x+2＜0，解可得答案．

解答：解：（1）令t=log_ax （t∈R），則x=a^t，
且f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）．
∴f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x） （x∈R）．
（2）令g（x）=a^x-a^-x
當a＞1時，g（x）=a^x-a^-x為增函數，
又

a

a2-1

＞0，
∴f（x）為增函數；
當0＜a＜1時，g（x）=a^x-a^-x為減函數，
又

a

a2-1

＜0，
∴f（x）為增函數．
∴綜上討論知，函數f（x）在R上為增函數．
（3）∵f（0）=

a

a2-1

（a⁰-a⁰）=0
∴f（x²-3x+2）＜0=f（0）．
由（2）知：x²-3x+2＜0
解得1＜x＜2
∴不等式的解集為{x|1＜x＜2}．

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，首先要利用換元法求出函數的解析式，也是本題的關鍵所在．