Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，點M是BC的中點，點N在側棱CC₁上．
（1）當線段CN的長度為多少時，NM⊥AB₁；
（2）若MN⊥AB₁，求異面直線B₁N與AB所成的角的正切值；
（3）若MN⊥AB₁，求二面角A-B₁N-M的大小
（4）若MN⊥AB₁，求點M到平面AB₁N的距離．

Answer 1

分析：（1）先根據條件得到MN⊥面AB₁M，再結合B₁C₁²+NC₁²=B₁M²+NM²即可求出結論．
（2）AB平行于A₁B₁，∠A₁BN就是異面直線所成的角，轉化為求∠A₁BN
（3）作ME⊥B₁N，交B₁N于E可得∠AEM為二面角A--B₁N-M的平面角；計算出tan∠AEM即可．
（4）作MH⊥AE于H，根據條件得到MH的長即為點M到平面AB₁N的距離，然后在直角三角形AME中，求出MH即可．

解答：解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，點M為BC中點，
∴AM⊥BC，AM⊥面BCC₁B₁
∴AM⊥MN，NM⊥AB₁；AM∩AB₁=A
所以MN⊥AB₁M
BC=B₁C₁=

2

，
設CN=x，則NC₁=2-x
B₁C₁²+NC₁²=B₁M²+NM²
2+（2-x）²=2²+(

1

2

)2+(

1

2

)2+x²，
解得x=

1

4

．
（2）∵AB∥A₁B₁
∴異面直線B₁N與AB所成的角為∠A₁BN
∵面ABB₁A₁⊥面ACC₁A₁，
∴B₁A₁⊥面ACC₁A₁，B₁A₁⊥A₁N
A₁N=

A1C1 2+C1N2

=

1+( 7 4 )2

=

65

4

．
∴tan∠A₁BN=

A1N

A1B1

=

65

4

．
（3）連接AM，M為BC中點，∴AM⊥BC，AM⊥面BCC₁B₁
作ME⊥B₁N，交B₁N于E，連接AE，∴AE⊥B₁N （三垂線定理）
∴∠AEM為二面角A--B₁N-M的平面角
B1N2=2²+

1

2

+(

1

4

)2=

81

16

⇒B₁N=

9

4

．
NM²=

1

2

+(

1

4

)2
設EN=x，∵△B₁NM為直角三角形，∴NM²=x•B₁N
即

9

16

=

9x

4

⇒x=

1

4

．
ME=

MN2-EN2

=

2

2

AM=

2

2

，
∴tan∠AEM=

AM

EM

=1
∴二面角A-B₁N-M為45°．
（4）作MH⊥AE于H，①
由第三問得B₁N⊥平面AEM，所以B₁N⊥MH，②
AE∩B₁N=E    ③
結合①②③得：MH⊥平面AB₁N；
∴MH的長即為點M到平面AB₁N的距離
在直角三角形AME中，MH=MEsin∠AEM=MEsin45°=

2

2

×

2

2

=

1

2

．
即點M到平面AB₁N的距離為：

1

2

．

點評：本題主要考察二面角的平面角及求法以及異面直線及其所成的角和點到面的距離計算，是對立體幾何知識的綜合考察，難度較高，綜合性強．