Question

設M={x|

2x-2

x+3

＞1}，N={x|x²+（a-8）x-8a≤0}，命題p：x∈M，命題q：x∈N．
（Ⅰ）當a=-6時，試判斷命題p是命題q的什么條件；
（Ⅱ）求a的取值范圍，使命題p是命題q的一個必要但不充分條件．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解分式不等式求出M={x|x＜-3或x＞5}，當a=-6時，解一元二次不等式求出N={x|6≤x≤8}，由此能夠得到命題p是命題q的必要不充分條件．
（Ⅱ）由M={x|x＜-3或x＞5}，N={x|（x-8）（x+a）≤0}，命題p是命題q的必要不充分條件，分類討論能夠求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）M={x|

2x-2

x+3

＞1}={x|x＜-3或x＞5}，
當a=-6時，N={x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|x²-14x+48≤0}={x|6≤x≤8}，
∵命題p：x∈M，命題q：x∈N，
∴q⇒p，p推不出q，
∴命題p是命題q的必要不充分條件．
（Ⅱ）∵M={x|x＜-3或x＞5}，N={x|（x-8）（x+a）≤0}，
命題p是命題q的必要不充分條件，
當-a＞8，即a＜-8時，N={x|8＜x＜-a}，此時命題成立；
當-a=8，即a=-8時，N={8}，命題成立；
當-a＜8，即a＞-8時，此時N={-a＜x＜8}，故有-a＞5，解得a＜-5，
綜上所述，a的取值范圍是{a|a＜-5}．

點評：本題考查必要條件、充分條件、充要條件的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．