Question

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線(xiàn)段MN經(jīng)過(guò)△ABC的中心G，設(shè)ÐMGA=a（）
（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S₁與S₂）表示為a的函數(shù)．
（2）求y=的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)G是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，可求得AG，進(jìn)而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面積公式求得S₁，同理可求得S₂
（2）把（1）中求得S₁與S₂代入求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)α的范圍和余切函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值．
解答：解：（1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，
所以AG=，
∠MAG=，
由正弦定理
得
則S₁=GM•GA•sina=
同理可求得S₂=

（2）y==
=72（3+cot²a）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174412721893704/SYS201311031744127218937020_DA/9.png">，
所以當(dāng)a=或a=時(shí)，y取得最大值y_max=240
當(dāng)a=時(shí)，y取得最小值y_min=216
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．