Question

已知方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0表示一個圓．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）求該圓半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將方程化為標準方程的形式，要得到方程為圓，則方程的右邊大于0，可得不等式，解之可得到m的范圍．
（2）可設r²=-7m²+6m+1，在（1）求出的m的范圍中，利用二次函數求最值的方法，可確定函數的值域．

解答：解：（1）由方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0
變形得：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，
當且僅當-7m²+6m+1＞0，即7m²-6m-1＜0時方程表示圓；
所以-

1

7

＜m＜1時，該方程表示一個圓；
（2）在-

1

7

＜m＜1時，設r²=-7m²+6m+1，為開口向下的拋物線，
r²=-7m²+6m+1=-7(m-

3

7

)2+

16

7

∴0＜r2≤

16

7

∴0＜r≤

4

7

7

點評：本題以二元二次方程為載體，考查方程表示圓的條件，考查配方法求二次函數的最值，正確配方是關鍵．