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x2
4
+
y2
3
=1上有一動點P,圓E:(x-1)2+y2=1,過圓心E任意做一條直線與圓E交于A、B兩點,圓F::(x+1)2+y2=1,過圓心任意做一條直線交圓F于C、D兩點,則
PA
PB
+
PC
PD
的最小值為
 
分析:先利用條件得出
EA
EB
互為相反向量,且長為1.再利用向量的三角形法則和向量的數量積的運算求出
PA
PB
的表達式;同理求出
PC
PD
,再與點P是橢圓上的點相結合即可求出結論.
解答:解:設P(a,b)
則由已知得
EA
EB
互為相反向量,且長為1.
又∵
PA
=
PE
+
EA
PB
=
PE
+
EB

PA
PB
 =(
PE
+
EA
)  •(
PE
+
EB
)
=
PE
2
+
PE
•(
EA
+
EB
)+
EA
EB
=
PE
2
+0-1=
PE
2
-1;
同理可得
PC
PD
=
PF
2
-1.
PA
PB
+
PC
PD
=
PE
2
+
PF
2
-2=(a-1)2+b2+(a+1)2+b2-2=2(a2+b2)    ①.
又因為點P(a,b)在
x2
4
+
y2
3
=1上,所以有
a2
4
+
b2
3
=1⇒b2=3(1-
a2
4
)      ②.
把②代入①整理得,
PA
PB
+
PC
PD
=2(3+
a2
4
)≥6.
故答案為6.
點評:本題主要考查向量基本知識以及圓與圓錐曲線的綜合問題.是對知識點的一個綜合考查,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

在直角坐標系xoy中,已知△ABC的頂點A(-1,0)和C(1,0),頂點B在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
上,則
sinA+sinC
sinB
的值是(  )
A、
3
2
B、
3
C、4
D、2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
上不同于左頂點A、右頂點B的任意一點,記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,則k1•k2的值為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

點P在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
上運動,Q、R分別在兩圓(x+1)2+y2=1和(x-1)2+y2=1上運動,則|PQ|+|PR|的取值范圍為
[2,6]
[2,6]

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科目:高中數學 來源: 題型:

點P在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
上運動,Q、R分別在兩圓(x+1)2+y2=1和(x-1)2+y2=1上運動,則|PQ|+|PR|的最大值為(  )

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同步練習冊答案
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