Question

已知函數f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2時求f（x）的極值；
（2）若g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=-2代入，我們可以求出函數f（x）的解析式，進而求出f′（x）的解析式，令導函數等于0，求出對應的x值，并分析不同區間上函數f（x）的單調性，即可得到f（x）的極值；
（2）由已知中函數f（x）=x²+alnx．我們易根據g（x）=f（x）+2x得到函數g（x）的表達式，根據g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上單調遞增，我們易得g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，進而將問題轉化為一個函數恒成立問題．

解答：解：（1）當a=-2時
f（x）=x²-2lnx
f′（x）=2x-

2

x

=

2x2-2

x

令f′（x）=0，則x=1
又∵當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴當x=1時，f（x）_極小=f（1）=1
（2）∵f（x）=x²+alnx
∴g（x）=x²+2x+alnx
∴g′（x）=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

∵g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即u=2x²+2x+a≥0在[1，+∞）上恒成立
∵u=2x²+2x+a在[1，+∞）上單調遞增
∴僅須u的最小值4+a≥0，即a≥-4即可
故實數a的取值范圍為[-4，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數的單調性與導數的關系，利用導數研究函數的極值，其中根據函數的解析式，求出導函數的解析式，是解答此類問題的關鍵．